LANGKAH-LANGKAH PENYELESAIAN MASALAH VERBAL/SOAL CERITA PADA MATERI ALJABAR

TUGAS

KUMPULAN SOAL UN

diajukan untuk memenuhi salah satu tugas mandiri

Mata Kuliah Pembelajaran Matematika SMA

Oleh:

SRI WAHYUNI

III/B

1209205082

PRODI PENDIDIKAN MATEMATIKA

FAKULTAS TARBIYAH DAN KEGURUAN UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SUNAN GUNUNG DJATI

BANDUNG

2010

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Perkembangan usia siswa dari usia Sekolah Dasar (SD) ke Sekolah Menengah Pertama (SMP) mempengaruhi perkembangan kognitif siswa yakni dari number sense ke symbolic sense. Di SD, bilangan disimbolkan dengan angka, dan sejak di SMP, bilangan disimbolkan dengan angka, huruf, atau simbol lainnya. Kadang hal ini menyebabkan kesulitan bagi beberapa siswa. Perubahan ini juga dirasakan oleh beberapa guru matematika di lapangan ketika menyampaikan materi pembelajaran Matematika terkait dengan pembelajaran materi aljabar.

Sementara itu, merujuk pada salah satu tujuan pembelajaran matematika di SMP dalam rangka mewujudkan hasil belajar berupa kecakapan matematika salah satu diantaranya adalah: memecahkan masalah yang meliputi kemampuan memahami masalah, merancang model Matematika, menyelesaikan model dan menafsirkan solusi yang diperoleh. (Permendiknas No. 22 th 2006 tentang Standar Isi).

Kompetensi siswa dalam memahami, kemudian menyusun bentuk aljabar dan selanjutnya merelasikan bentuk aljabar yang tersusun menjadi kalimat atau model matematika, merupakan prasyarat siswa untuk mampu atau kompeten dalam menyelesaikan masalah verbal baik yang menyangkut persamaan, pertidaksamaan, fungsi, maupun pengembangannya. Kemampuan dasar ini perlu mendapatkan perhatian atau penanganan sebelum masuk ke persamaan, pertidaksamaan, dan ke fungsi dalam aljabar. Kemampuan dasar itu dapat digali dari pengalaman belajar siswa.

Kenyataan menunjukkan, bahwa salah satu kesulitan yang banyak dialami siswa dalam pembelajaran matematika adalah menyelesaikan soal cerita. Soal semacam ini memuat kalimat sehari-hari yang perlu diolah lebih dahulu untuk memecahkan masalahnya. Pengubahan dari soal cerita atau masalah verbal ke kalimat terbuka inilah yang kiranya menjadi salah satu kesulitan siswa. Kesulitannya tidak hanya dalam masalah kebahasaan yang menyangkut interpretasi suatu kalimat, namun juga kesulitan dalam penuangannya ke dalam bentuk simbol yang memiliki makna terkait dengan suatu masalah. Pengubahan ke simbol dan rangkaian simbol yang diantaranya merupakan bentuk aljabar, sebagai suatu ungkapan matematis dari suatu pernyataan keseharian, dan sebaliknya dari ungkapan matematis ke bahasa sehari-hari kurang dikuasai siswa. Bahkan, banyak buku penunjang yang digunakan di sekolah tidak memuat latihan dasar tentang hal ini. Oleh karena itu pada bab II akan di bahas mengenai langkah-langkah-langkah dalam menyelesaikan soal cerita agar dapat membantu mengatasi kesulitan siswa.

B. Rumusan Masalah 

1. Apa yang menyebabkan materi aljabar terutama yang menyangkut penyelesaian soal cerita dianggap sulit oleh para siswa ?

2. Bagaimana langkah-langkah dalam menyelesaikan soal cerita?

C. Tujuan dan Manfaat

1. Untuk menambah pengetahuan para pembaca khususnya mengenai cara mengatasi kesulitan siswa dalam menyelesaikan soal-soal cerita

2. Para pembaca khususnya para guru dapat menyadari beberapa hal yang menyebabkan kesulitan para siwa dalam materi aljabar terutama yang menyangkut penyelesaian soal cerita. 

3. Para pembaca dapat mengetahui langkah-langkah dalam menyelesaikan soal cerita.

D. Sistematika Penulisan

Makalah ini terdiri dari tiga bab. Bab I berupa pendahuluan yang terdiri dari latar belakang, rumusan masalah, tujuan dan manfaat, metode yang digunakan dan sistematika penulisan. Bab II berupa pembahasan. Dan bab III berupa penutup terdiri dari simpulan dan saran. 

BAB II

PEMBAHASAN

A. Apa yang menyebabkan materi aljabar terutama yang menyangkut penyelesaian soal cerita dianggap sulit oleh para siswa ?

Aljabar merupakan bahasa simbol dan relasi (Johnson dan Rising, 1972: 3). Aljabar digunakan untuk memecahkan masalah sehari-hari. Dengan bahasa simbol, dari relasi-relasi yang muncul, masalah-masalah dipecahkan secara sederhana. Bahkan untuk hal-hal tertentu ada algoritma-algoritma yang mudah diikuti dalam rangka memecahkan masalah simbolik itu, yang pada saatnya nanti dikembalikan kepada masalah sehari-hari. Jadi belajar aljabar bukan semata-mata belajar tentang simbol atau keabstrakannya, melainkan belajar tentang masalah sehari-hari.

Di lain pihak, siswa banyak mengandalkan rumus. Rumus-rumus oleh banyak siswa dianggap paling penting dalam matematika. Dianggap demikian karena terpengaruh oleh sebagian besar buku mata pelajaran matematika berisi uraian, contoh, dan soal-soal tentang penggunaan prosedur maupun rumus-rumus matematika. Sering terjadi, begitu ada soal, siswa mencari rumus lebih dahulu. Sering tidak disadari bahwa rumus tidak memiliki arti dalam kehidupan sehari-hari tanpa tahu makna rumus itu, dan dalam konteks mana rumus itu digunakan. Hafal rumus tidak ada artinya jika soal cerita belum diubah menjadi suatu kalimat matematika yang secara langsung terkait dengan rumus maupun prosedur penyelesaian suatu masalah. . Pengubahan ke simbol dan rangkaian simbol yang diantaranya merupakan bentuk aljabar, sebagai suatu ungkapan matematis dari suatu pernyataan keseharian, dan sebaliknya dari ungkapan matematis ke bahasa sehari-hari kurang dikuasai siswa karena latihan transformasi dari bentuk satu ke bentuk lain tersebut kurang.

Di samping itu, penguasaan bentuk aljabar kurang memperoleh porsi cukup. Butler dan Wren (1960), mendapatkan kenyataan bahwa kesulitan tersebut dapat berakar dari cara pandang siswa terhadap variabel berupa huruf dalam aljabar. Banyak siswa masih ”rancu” dengan menganggap huruf yang merepresentasikan bilangan dipandang sebagai huruf yang merepresentasikan objek atau benda, di samping sering memandang huruf sebagai representasi satu macam bilangan.

Menurut Butler dan Wren (1960), kesulitan siswa yaitu dalam pemecahan masalah. Kesulitan itu sampai kini masih banyak dirasakan para guru, meliputi: (1) komputasi, (2) kurangnya kemampuan penalaran, (3) kurangnya kemampuan pengelolaan prosedur secara sistematis, (3) kesulitan dalam memilih proses yang akan digunakan, (4) kesalahan dalam memahami maksud dari yang dipermasalahkan, (5) kurangnya kebiasaan (habit) membaca, (6) kurangnya penguasaan kosakata, (7) perhatian terhadap sesuatu masalah yang hanya sepintas, (8) kurangnya kemampuan memilih yang esensial dari masalahnya, (9) kekurangmampuan menerjemahkan ungkapan, (10) kekurangcermatan membaca, mungkin juga karena memang ada kekurangan kemampuan inderanya, (11) kurangnya perhatian/ketertarikan, dan (12) kebiasaan senang menebak untuk memperoleh jawaban secara cepat.

Maka ada beberapa hal yang perlu dilakukan guru agar dapat membantu pemahaman siswa dalam menyelesaikan soal-soal cerita, diantaranya: 

a. Menyusun dan mengajarkan berbagai alternatif ungkapan sehari-hari dari bentuk-bentuk aljabar sederhana,

b. Membelajarkan siswa menyusun model matematika dari yang sederhana ke yang lebih rumit (dari ungkapan sederhana ke pernyataan rasional) dari ungkapan/pernyataan verbal atau ungkapan dan kalimat sehari-hari ke model matematika,

c. Membelajarkan siswa untuk menggunakan pengertian-pengertian dasar dan kesepakatan-kesepakatan dalam aljabar dengan tepat, dan

d. Mengajarkan cara menyelesaikan kalimat terbuka menggunakan langkah-langkah yang penalarannya mudah diikuti siswa.

B. Bagaimana langkah-langkah dalam menyelesaikan soal cerita?

Salah satu yang perlu dilakukan oleh siapapun yang akan memecahkan masalah verbal adalah membaca masalah itu dengan cermat (jika perlu soal dibaca tidak hanya sekali saja), memahami masalahnya (tahu apa yang ditanyakan), dan dapat memahami data yang sudah tersedia. 

1. Langkah-langkah Menyelesaikan Masalah Verbal

Diperlukan langkah-langkah sistematis untuk menyusun model matematika agar model yang diinginkan dapat tersusun. Arya dan Lardner (1981: 63) dan Auviel dan Poluga (1984: 115) menyarankan langkah-langkah dasar menyelesaikan masalah verbal sebagai berikut:

1) Memilih sebuah variabel

a. Variabel ini biasanya adalah bilangan yang menyatakan sesuatu yang ditanyakan, atau dapat juga yang terkait langsung atau tidak langsung dengan yang ditanyakan. Misalnya jika yang ditanyakan kecepatan, maka yang dimisalkan dapat dipilih jarak yang ditempuh, dapat pula waktu yang diperlukan.

b. Jika masalahnya menyangkut selain bentuk aljabar (sebagai alat perhitungan) juga terutama menyangkut geometri, maka gambar atau diagram yang sesuai diperlukan dalam memilih atau menentukan variabel.

c. Jika permasalahannya menyangkut lebih dari satu hal yang masing-masing memerlukan adanya variabel, maka dipilih variabel kedua.

2) Menyusun bentuk-bentuk aljabar

a. Jika perlu, dan pada awal penentuan variabel belum ada gambar/diagram, dahuluilah membentuk suatu diagram situasi.

b. Nyatakan setiap bilangan yang ada dalam masalah verbal itu dengan variabel terpilih. Jika tidak, tuliskan bilangan itu sebagai konstanta. Susunlah dalam suatu bentuk aljabar.

3) Menyusun model matematikanya.

a. Nyatakan relasi antara bilangan-bilangan dan variabel dalam bentuk aljabarnya yang telah diperoleh sehingga tersusun model matematika yang berbentuk kalimat terbuka.

b. Relasinya mungkin membentuk suatu kalimat terbuka. KalimaT terbukanya mungkin persamaan, pertidaksamaan, sistem persamaan, atau sistem pertidaksamaan. Selain itu, relasi yang terbentuk dapat merupakan relasi fungsional (sebuah fungsi).

4) Menyelesaikan kalimat terbuka atau model matematikanya

Prosedur penyelesaiannya sesuai dengan prosedur atau algoritma jenis kalimat terbuka atau fungsinya.

5) Nyatakan jawaban sesuai yang ditanyakan pada masalah itu

6) Periksa kebenaran jawaban dengan “mengembalikannya” ke persoalan awal

Pemeriksaan juga menyangkut validitas jawaban sesuai konteks dan menyingkirkan kemungkinan adanya “akar palsu”. 

2. Menyusun Bentuk Aljabar Sederhana

Dalam memecahkan masalah matematika yang terkait dengan soal cerita atau pemecahan masalah pada umumnya, salah satu kuncinya adalah keberhasilan penyusunan model matematikanya. Kenyatannya, dalam kesulitan siswa tentang aljabar sering terselip kesulitan siswa tentang aritmetikanya, dan kesulitan lain seperti dikemukakan Butler dan Wren. Siswa banyak mengalami kesulitan dalam menyusun model matematika dari kalimat sehari-hari. Agar ketika para siswa menghadapi soal yang kompleks mereka tidak mengalami kebingungan dalam memulai langkahnya, maka guru harus mengajarkan para siswa tentang langkah-langkah penyususnan model matematika dari kalimat sehari-hari. Ini dilakukan dengan cara mengajari mereka cara menyusun bentuk aljabar sederhana. Selain itu, siswa juga perlu pahami konsep dan kesepakatan-kesepakatan dasar yang digunakan dalam bahasa matematika, yaitu aljabar.

3. Alternatif Menyusun Bentuk Aljabar dari Masalah Verbal

Alternatif Menyusun Bentuk Aljabar dari Masalah Verbal diawali menyusun bentuk aljabar dari soal yang memuat kalimat verbal yang cukup sederhana. Hal tersebut dibantu dengan membuat diagram situasi dan berlatih menerjemahkan kalimat biasa yang cukup sederhana menjadi kalimat matematika. 

Masalah verbal yang banyak dikeluhkan menjadi kesulitan siswa pada pada umumnya yaitu masalah yang sering muncul pada soal-soal terapan di bagian akhir soal-soal suatu pokok bahasan. Soal-soal itu sering telah memuat 5 sampai 8 kalimat. Namun jika diperhatikan lebih cermat, kesulitan itu antara lain juga disebabkan kurangnya latihan menyelesaikan soal yang memuat kalimat verbal yang cukup sederhana. Karena itu, siswa perlu diberikan pengalaman belajar mengubah kalimat sederhana menjadi model matematika, baik bentuk aljabar maupun kalimat terbuka. 

Langkah awal adalah menentukan/memilih sebuah (atau lebih) variabel.

Contoh menyusun model matematika bentuk aljabar:

a) Ukuran panjang bertambah 5 cm.

Alternatif 1.

Tulis x: ukuran panjang semula

Jadi ukuran panjang sekarang adalah x + 5.

Alternatif 2.

Ukuran panjang bertambah 5 cm.

Jika panjang semula dimisalkan x, bentuk aljabarnya x + 5

b) Misalkan l adalah lebar sebuah persegi panjang yang ukuran

panjangnya 8 cm lebih dari dua kali lebarnya.

Alternatif 1.

Tulis l: ukuran lebar persegipanjang dan

2 l : dua kali lebar persegipanjang!

Jadi, ukuran panjang persegipanjang adalah 2l + 8.

Alternatif 2.

Lebar persegipanjang semula l cm.

Panjangnya 8 cm lebih dari dua kali lebarnya

Jadi, ukuran panjang persegipanjang adalah 2l + 8.

Masalah verbal sederhana dapat diselesaikan menggunakan beberapa cara, diantaranya adalah dengan memberikan tanda bagian-bagian yang terkait dengan inti masalah (yang ditanyakan), yang diketahui, maupun hubungan antara keduanya. Mengubah pernyataan menjadi suatu relasi yang lebih jelas akan memudahkan penyelesaiannya.

4. Alternatif Kegiatan Menyusun Kalimat Terbuka dari Masalah Verbal

Sebelum siswa terbiasa dengan soal-soal cerita yang memuat sejumlah kalimat sehingga menjadi soal yang tersaji dalam 5 – 10 baris, setelah mengenal bentuk aljabar seyogyanya siswa dilatih menerjemahkan kalimat biasa yang cukup sederhana menjadi kalimat matematika.

Tahap berikutnya adalah menyusun model yang memuat kalimat terbuka sederhana dari permasalahan yang memuat beberapa kalimat

5. Menyusun Model dan Menyelesaikan Masalah

Setelah memahami langkah-langkah dasar dalam memahami masalah, maka barulah penyusunan model dan penyelesaiannya dapat dilakukan oleh siswa.

Contoh 1

Empat tahun yang lalu umur seorang bapak 5 kali umur anak pertamanya. Tiga tahun mendatang umur bapak itu tiga kali umur anak pertama tersebut. Berapa tahun lagi umur bapak tersebut setengah abad?

Penyelesaian:

Cara I

1) Memilih variabel

Misalkan umur anak sekarang a tahun dan umur bapaknya b tahun.

2) Menyusun bentuk aljabar

Membuat diagram/sketsa situasi berdasar umur sekarang.

4 tahun yang lalu sekarang 3 tahun mendatang

anak a 

bapak b 

Setelah dilengkapi dengan menggunakan 4 tahun yang lalu dan 3 tahun yang akan datang, diagramnya yang memuat bentuk aljabar adalah sebagai berikut (urutan pengisian sesuai arah anak panah).

4 tahun yang lalu sekarang 3 tahun mendatang

Anak a – 4 a  a + 3

Bapak b – 4 b  b + 3

3) Menyusun model matematika

Dalam hal ini mencari hubungan (relasi) antara bentuk aljabar. Empat tahun yang lalu umur bapak 5 kali umur anak pertamanya

b – 4 = 5(a – 4)..................... (1)

Tiga tahun mendatang umur bapak itu tiga kali umur anak pertama

b + 3 = 3(a + 3)..................... (2)

Bentuk model matematika yaitu berupa suatu sistem persamaan linear dengan dua variabel

b – 4 = 5(a – 4)..................... (1)

b + 3 = 3(a + 3)..................... (2)

4) Menyelesaikan kalimat terbuka atau model matematikanya

b – 4 = 5a – 20

b + 3 = 3a + 9 

–

– 7 = 2a – 29 2a = 22 a = 11

a = 11 disubstitusikan pada (2) diperoleh b + 3 = 3 14 b = 39.

Karena siswa Kelas VII belum mengenal teknik penyelesaian sistem persamaan dengan dua variabel, maka konsep “substitusi” dapat dingatkan kembali dan digunakan sebagai salah satu strategi penyelesaiannya.

b – 4 = 5a – 20 b = 5a 16 …... (*)

disubstitusikan ke (2) menjadi

(2): b + 3 = 3a + 9 5a-16 + 3 = 3a + 9

2a = 22 a = 11

Dari persamaan (*) diperoleh b = 5 11 −16 = 39

Situasi sebenarnya adalah:

4 tahun yang lalu sekarang 3 tahun mendatang

anak a – 4 = 11 – 4 =7 a = 11  a + 3 = 11 + 3 = 14 

bapak b – 4 = 39 – 4 = 35 b =39  b + 3 = 39 + 3 = 42

5) Menyatakan jawabnya sesuai yang ditanyakan pada masalah itu.

Umur bapak itu sekarang 39 tahun. Jadi, umur bapak itu setengah abad 11 tahun mendatang.

6) Pemeriksaan:

4 tahun yang lalu umur ayah 35 tahun, sedangkan anaknya anak 7 tahun. Pernyataan umur ayah 5 kali umur anak bernilai benar. 3 tahun lagi umur ayah 42 tahun, seadangkan anaknya 14 tahun. Pernyataan umur ayah 3 kali umur anak bernilai benar.

Cara II

1) Memisalkan umur ayah dan anak 4 tahun yang lalu (memilih variabel)

Misalkan umur anak 4 tahun yang lalu adalah a tahun dan umur bapak b tahun.

2) Menyusun bentuk aljabar

Membuat diagram/sketsa situasi berdasar umur 4 tahun yang lalu

4 tahun yang lalu sekarang 3 tahun mendatang

anak a 

bapak b 

Setelah dilengkapi dengan menggunakan 4 tahun yang lalu dan 3 tahun yang akan datang dari sekarang (dari 4 tahun yang lalu ke sekarang “bertambah 4”), diagram yang memuat bentuk aljabar adalah sebagai berikut (urutan pengisian sesuai arah anak panah):

4 tahun yang lalu sekarang 3 tahun mendatang

anak a  a + 4 a + 7

bapak b  b + 4 b + 7 

3) Mencari hubungan antara bentuk aljabar sesuai informasi yang belum digunakan

Empat tahun yang lalu umur bapak 5 kali umur anak pertamanya

b = 5a

Tiga tahun mendatang umur bapak itu tiga kali umur anak pertama

b + 7 = 3(a + 7)

Bentuk model matematika, yaitu berupa suatu sistem persamaan linear dengan dua variabel,

b = 5a

b + 7 = 3(a + 7)

4) Menyelesaikan kalimat terbuka (model matematika)-nya

b = 5a atau b + 7 = 3(a + 7); b = 5a

b + 7 = 3a + 21_ sehingga 5a + 7 = 3a + 21

–7 = 2a – 21 2a = 14 a = 7 2a = 14 a = 7

Jika nilai a = 7 disubstitusikan ke persamaan pertama, diperoleh b = 5 x7 = 35.

Situasi sebenarnya adalah:

4 tahun yang lalu sekarang 3 tahun mendatang

anak a = 7  a + 4 = 7 + 4 = 11 a + 7 = 7 + 7 = 14

bapak b = 35  b + 4 b + 7 = 35 + 7 = 42

5) Menyatakan jawaban sesuai yang ditanyakan pada masalah itu

Umur bapak itu sekarang 39 tahun. Jadi umur bapak itu mencapai setengah

abad 11 tahun mendatang.

6) Pemeriksaan:

4 tahun yang lalu umur ayah 35 tahun, sedangkan, anaknya 7 tahun. Pernyataan umur ayah 5 kali umur anak bernilai benar. 3 tahun lagi umur ayah 42 tahun, sedangkan anak 14 tahun. Pernyataan umur ayah 3 kali umur anaknya, benar.

Cara III

1) Memilih/menentukan variabel

Misalkan umur anak 4 tahun yang lalu adalah a tahun.

2) 2. Menyusun bentuk aljabar

Membuat diagram/sketsa situasi berdasar umur 4 tahun yang lalu

4 tahun yang lalu sekarang 3 tahun mendatang

anak a 

bapak 

Karena umur si Bapak 4 tahun yang lalu 5 kali umur anaknya, maka

4 tahun yang lalu sekarang 3 tahun mendatang

anak a 

bapak 5a 

Hasil pengisian tabel umur sekarang dan 3 tahun yang akan datang kaitannya dengan 4 tahun yang lalu adalah sebagai berikut.

4 tahun yang lalu sekarang 3 tahun mendatang

anak a 

 a + 4 a + 7

bapak 5a  5a + 4 5a + 7

3) Mencari hubungan antar bentuk aljabar sesuai informasi yang belum

digunakan (Menyusun model matematikanya)

Tiga tahun mendatang umur bapak itu tiga kali umur anak pertama.

5a + 7 = 3(a + 7)

Bentuk model matematika yaitu berupa sebuah persamaan linear:

5a + 7 = 3a + 21

4) Menyelesaikan kalimat terbuka (model matematika)-nya

5a + 7 = 3a + 21 2a = 14 a = 7

Situasi sebenarnya adalah:

4 tahun yang lalu sekarang 3 tahun mendatang

Anak a = 7

 a + 4 = 7 + 4 = 11 

a + 7 = 7 + 7 = 14

bapak 5a = 5 x7 = 35 5a + 4 5a + 7 = 35 + 7 = 42 

Langkah 5 dan 6 sama dengan Cara I dan II.

Cara IV

Tulis x: umur ayah sekarang dan

y: umur anak sekarang

Dipunyai: x 4 = 5(y 4) dan

x + 3 = 3(y + 3).

Jelas x 4 = 5(y -4) x = 5y-16

Jadi, 5y 16 + 3 = 3(y + 3).

y = 11

Dengan demikian, x = 55 −16 = 39.

Jadi, 11 tahun lagi umur ayah genap setengah abad.

BAB III

PENUTUP

A. SIMPULAN

Jadi kemamampuan untuk menyelesaikan masalah verbal penting dikuasai oleh para siswa. Karena menurut Permendiknas No. 22 th 2006 tentang Standar Isi, satu tujuan pembelajaran matematika di SMP dalam rangka mewujudkan hasil belajar berupa kecakapan matematika salah satu diantaranya adalah: memecahkan masalah yang meliputi kemampuan memahami masalah, merancang model Matematika, menyelesaikan model dan menafsirkan solusi yang diperoleh. Untuk menyelesaikan soal cerita atau masalah verbal ini perlu melalui beberapa langkah yang harus dikuasai siswa dan juga kemampuan dasar dari materi yang bersangkutan dalam hal ini materi aljabar, sudah harus dipahami oleh para siswa. Para guru matematika harus mengajarkan materi ini sampai siswa benar-benar berkompeten. Sehingga bisa mempercepat dalam memahami/mempelajari materi yang lebih lanjut lagi. Selain itu,kita dapat belajar memnyelesaikan masalah sehari-hati,karena materi aljabar bukan hanya mempelajari tentang simbol atau keabstrakannya saja, tetapi juga mempelajari masalah sehari – hari

REFERENSI

Arya dan Lardner (1981: 63) (dalam PPPPTK Matematika. 2009.Kapita Selekta Pembelajaran Aljabar di Kelas VII SMP (Modul Matematika SMP Program BERMUTU ). D.I. Yogyakarta. )

Auviel dan Poluga (1984: 115) (dalam PPPPTK Matematika. 2009.Kapita Selekta Pembelajaran Aljabar di Kelas VII SMP (Modul Matematika SMP Program BERMUTU ). D.I. Yogyakarta. )

Butler dan Wren (1960) (dalam PPPPTK Matematika. 2009.Kapita Selekta Pembelajaran Aljabar di Kelas VII SMP (Modul Matematika SMP Program BERMUTU ). D.I. Yogyakarta. )

Butler dan Wren (1960) (dalam PPPPTK Matematika. 2009.Kapita Selekta Pembelajaran Aljabar di Kelas VII SMP (Modul Matematika SMP Program BERMUTU ). D.I. Yogyakarta. )

http://p4tkmatematika.org/category/matematika-smp/

Permendiknas No. 22 th 2006 tentang Standar Isi

PPPPTK Matematika. 2009.Kapita Selekta Pembelajaran Aljabar di Kelas VII SMP (Modul Matematika SMP Program BERMUTU ). D.I. Yogyakarta.